Question

求y''=1-(y')^2,的通解及满足当x=0时y=0,y'=0的特解

Answer 1

设p=y'

则dp/dt=1-p^2

分离变量

dp/(p^2-1)=-dt

两边积分

(1/2)ln|(p-1)/(p+1)|=-t+C'

所以(p-1)/(p+1)=C1e^(-2t)

化简得

p=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)

即y'=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)

令t=e^(2x)-C1

则x=(1/2)ln(t+C1)

所以

y=∫(t+2C1)/t * (1/2)/(t+C1)dt

=(1/2)∫[(2/t) - 1/(t+C1)]dt

=(1/2)(2lnt - ln(t+C1)) + C2

=lnt - (1/2)ln(t+C1) + C2

=ln(e^(2x)-C1) - x + C2

因为x=0时y'=0

所以0=e^(2*0)+C1

C1=-1

因为x=0时y=0

ln(e^(2*0)-(-1)) - 0 + C2=0

C2=-ln2

所以y=ln(e^(2x)+1) - x - ln2

ps:

y=x时y'=1,不合题意