求y''=1-(y')^2,的通解及满足当x=0时y=0,y'=0的特解

1个回答

  • 设p=y'

    则dp/dt=1-p^2

    分离变量

    dp/(p^2-1)=-dt

    两边积分

    (1/2)ln|(p-1)/(p+1)|=-t+C'

    所以(p-1)/(p+1)=C1e^(-2t)

    化简得

    p=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)

    即y'=(e^(2x)+C1)/(e^(2x)-C1)

    令t=e^(2x)-C1

    则x=(1/2)ln(t+C1)

    所以

    y=∫(t+2C1)/t * (1/2)/(t+C1)dt

    =(1/2)∫[(2/t) - 1/(t+C1)]dt

    =(1/2)(2lnt - ln(t+C1)) + C2

    =lnt - (1/2)ln(t+C1) + C2

    =ln(e^(2x)-C1) - x + C2

    因为x=0时y'=0

    所以0=e^(2*0)+C1

    C1=-1

    因为x=0时y=0

    ln(e^(2*0)-(-1)) - 0 + C2=0

    C2=-ln2

    所以y=ln(e^(2x)+1) - x - ln2

    ps:

    y=x时y'=1,不合题意