解题思路:(I)根据圆C被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2得到∠ACB的度数,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到半径AC和CB的长,进而得到圆心C的坐标,根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可;
(II)①若直线l斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),即kx-y-k=0.根据线段EF为直径的圆恰好过圆心C,所以EC⊥FC.再利用
(
1
2
|EF|
)
2
+
d
2
=4
可求得k,从而可求直线l的方程;②若直线l斜率不存在,不满足条件.
(I)因为圆C位于y轴右侧,且与y相切于点P(0,1),所以圆心C在直线y=1上.
又圆C被x轴分成的两段弧之比为1﹕2,所以∠ACB=
2π
3.….(3分)
所以PC=AC=BC=2,圆心C的坐标为(2,1).
所以所求圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.…(6分)
(II)①若直线l斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),即kx-y-k=0.
因为线段EF为直径的圆恰好过圆心C,所以EC⊥FC.
因此|EF|=2
2.…(8分)
∵圆心C(2,1)到直线l的距离d=
|2k-1-k|
1+k2=
|k-1|
1+k2.
∴由(
1
2|EF|)2+d2=4得k=-1.
故所求直线l的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.…(11分)
②若直线l斜率不存在,此时直线l的方程为x=1,点E、F的坐标分别为(1,1-
3)、(1,1+
3),不满足条件.…..(13分)
故所求直线的方程为x+y-1=0.…(14分)
点评:
本题考点: 直线和圆的方程的应用.
考点点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查直线方程、圆的求解,同时考查分类讨论数学思想,解题的关键是利用好圆的性质.