Question

对于函数y=f（x），存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，y∈[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数

Answer 1

解题思路：f（x）=e^x+x的定义域是R，f（x）在定义域为单调增函数，由题设条件得k=

e

x

x

+1

，令g（x）=

e

x

x

+1

，利用导数求的g（x）的极小值为：g（1）=1+e，由此能求出k的取值范围．

∵f（x）=e^x+x的定义域是R，f（x）在定义域为单调增函数，

∴有：f（a）=ka，f（b）=kb，

即：e^a+a=ka，e^b+b=kb，即a，b为方程e^x+x=kx的两个不同根，

∴k=

ex

x+1，

令g（x）=

ex

x+1，则g′(x)＝

xex−ex

x2，

令g′(x)＝

xex−ex

x2=0，得极小值点x=1．

故g（x）的极小值为：g（1）=1+e，

当x→0时，g（x）→+∞，当x→∞时，g（x）→1，

∴k＞1+e时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=

ex

x+1有两个解．

故所求的k的取值范围为（e+1，+∞），

故答案为：（e+1，+∞）．

点评：

本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，解题时要认真审题，仔细解答．