直线y=x-1/2与椭圆x2+4y2=4相交所得的弦长是多少

1个回答

  • 设弦的端点分别为A(m,m-1/2)、B(n,n-1/2).

    联立:y=x-1/2、x^2+4y^2=4,消去y,得:x^2+4(x-1/2)^2=4,

    ∴x^2+4x^2-4x+1=4,∴5x^2-4x-3=0.

    显然,m、n是方程5x^2-4x-3=0的两根,∴由韦达定理,有:m+n=4/5、mn=-3/5.

    ∴|AB|=√[(m-n)^2+(m-1/2-n+1/2)^2]=√[2(m-n)^2]

    =√{2[(m+n)^2-4mn]}=√{2[(4/5)^2-4×(-3/5)]}

    =√[2(16/25+12/5)]=√(2×76/25)=2√38/5.

    即直线与椭圆相交所得的弦长为 2√38/5.