已知0≤x≤[π/2],求函数y=cos2x-2acosx的最大值M(a)与最小值m(a).

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  • 解题思路:令t=cosx(0≤x≤[π/2])⇒t∈[0,1],依题意,y=cos2x-2acosx=(t-a)2-a2,t∈[0,1].令f(t)=(t-a)2-a2(0≤t≤1).通过对二次函数对称轴t=a中a的范围的讨论,利用二次函数的单调性与最值即可求得函数y=cos2x-2acosx的最大值M(a)与最小值m(a).

    ∵0≤x≤[π/2],

    ∴0≤cosx≤1,

    令t=cosx,t∈[0,1],

    ∵y=cos2x-2acosx=(cosx-a)2-a2=(t-a)2-a2,t∈[0,1].

    令f(t)=(t-a)2-a2,t∈[0,1].

    则(1)当a<0时,f(t)在[0,1]上单调递增,

    ∴m(a)=f(0)=0,M(a)=f(1)=1-2a;

    (2)当0≤a<[1/2]时,同理可得m(a)=f(a)=-a2,M(a)=f(1)=1-2a;

    (3)当[1/2]≤a<1时,m(a)=f(a)=-a2,M(a)=f(0)=0;

    (4)当a≥1时,f(t)在[0,1]上单调递减,m(a)=f(1)=1-2a,M(a)=f(0)=0.

    点评:

    本题考点: 三角函数的最值.

    考点点评: 本题考查二次函数的单调性与最值,着重考查转化思想与分类讨论思想,考查分析、运算能力,属于难题.