解题思路：解法一：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k，结合已知可求a
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx，利用函数的导数，判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，结合F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，可证
（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程
y＝(2t+
8
t
)x−
t
2
+8lnt−8
（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx-
[(2t+
8
t
)x−
t
2
+8lnt−8]
=x2+8lnx-
(2t+
8
t
)x+
t
2
−8lnt+8
（x＞0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h′（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程
y＝(2t+
8
t
)x−
t
2
+8lnt−8
（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx-
[(2t+
8
t
)x−
t
2
+8lnt−8]
=x2+8lnx-
(2t+
8
t
)x+
t
2
−8lnt+8
（x＞0），对h（x）求导，若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求
解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以f′(x)＝2x+
a
x，
函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx．
因为F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．
又因为F′(x)＝2x−2+
8
x≥2
16−2＝6＞0，所以F（x）在（0，+∞）上递增，
所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一
个实根． …（7分）
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)＝2x+
8
x，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为y−(t2+8lnt)＝(2t+
8
t)(x−t)，
即y＝(2t+
8
t)x−t2+8lnt−8（x＞0）．…（8分）
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
8
t)x−t2+8lnt−8]=x2+8lnx-(2t+
8
t)x+t2−8lnt+8（x＞0），
则h′(x)＝2x+
8
x−(2t+
8
t)＝
2(x−t)(x−
4
t)
x．…（11分）
（1）当t＝
4
t，即t=2时，h′(x)＝
2(x−2)2
x≥0对一切x∈（0．+∞）成立，
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，
即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧． …（12分）
（2）当t＞
4
t，即t＞2时，x∈(0，
4
t)时，h'（x）＞0；x∈(
4
t，t)时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．
故h（x）在(
4
t，t)上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
又h（t）=0，所以当x∈(
4
t，t)时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧．…（13分）
（3）当t＜
4
t，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；x∈(t，
4
t)时，h'（x）＜0；x∈(
4
t，+∞)时，h'（x）＞0．
故h（x）在（0，t）上单调递增，在(t，
4
t)上单调递减．
又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当x∈(t，
4
t)时，h（x）＜0，
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧． …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)＝2x+
8
x，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
线方程为y−(t2+8lnt)＝(2t+
8
t)(x−t)，
即y＝(2t+
8
t)x−t2+8lnt−8（x＞0）． …（8分）
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
8
t)x−t2+8lnt−8]=x2+8lnx-(2t+
8
t)x+t2−8lnt+8（x＞0），
则h′(x)＝2x+
8
x−(2t+
8
t)＝
2(x−t)(x−
4
t)
x．…（11分）
若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当t＝
4
t，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．