Question

（1）已知函数y=f（x）的定义域为R，且当x∈R时，f（m+x）=f（m-x）恒成立，求证y=f（x）的图象关于直线x

Answer 1

解题思路：（1）设P（s，t）是y=f（x）图象上任一点，P点关于x=m的对称点为P'，运用对称知识求出P'的坐标，说明也在函数f（x）的图象上即可得证；

（2）根据（1）得到log₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，然后由对数知识，去对数符号，整理，由x的任意性和a不为0，即可求出a的值．

（1）证明：设P（s，t）是y=f（x）图象上任一点，则t=f（s），

又P点关于x=m的对称点为P'，则P'（2m-s，t），

由已知f（m+x）=f（m-x）得，f（2m-s）=f（m+（m-s））=f（m-（m-s））=f（s）=t，

即P'在y=f（x）的图象上，

∴y=f（x）的图象关于直线x=m对称；

（2）∵函数y=log₂|ax-1|的图象的对称轴是x=2，

∴log₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，

即|a（2+x）-1|=|a（2-x）-1|恒成立，

即|ax+（2a-1）|=|-ax+（2a-1）|恒成立，

∵a≠0，∴2a-1=0，即a=[1/2]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查函数的对称性及运用，注意设点求对称点，同时考查恒成立问题，注意转化思想．