在1,2,3…76这76个自然数中,取两个不同的数,使得它们的和是7的倍数,共有多少种不同取法?

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  • 把这些数按除7的余数分成7类:余数分别为0,1,2,3,4,5,6.

    余数是0的有7,14,21,28,35,42,49,56,63,70;

    余数是1的有1,8,15,22,29,36,43,50,57,64,71;

    余数是2的有2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72;

    余数是3的有3,10,17,24,31,38,45,52,59,66,73;

    余数是4的有4,11,18,25,32,39,46,53,60,67,74;

    余数是5的有5,12,19,26,33,39,47,54,61,68,75;

    余数是6的有6,13,20,27,34,40,48,55,62,69,76.

    取两数和是7的倍数有:

    两数都取自第一类(余数为0);

    一个取自第二类,另一个取自第七类(余数是1和6);

    一个取自第三类,另一个取自第六类(余数是2和5);

    一个取自第四类,另一个取自第五类(余数是3和4).

    因此,共有取法C(10,2)+11×11+11×11+11×11=408种(C是组合数).