Question

定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x2+x，且对任意x，满足f（x-3）=2f（x），则f（x）

Answer 1

解题思路：先根据条件得到f（x）=[1/4]f（x-6），再结合x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；以及当x∈[-1，1]时，f（x）的值域即可求出结论．

因为；f（x-3）=2f（x），

∴f（x-6）=2f（x-3）=4f（x），

∴f（x）=[1/4]f（x-6），

x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；

∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+x=（x+[1/2]）²-[1/4]

∴x=-[1/2]时，y_min=-[1/4]，

x=1时，y_max=2．

故当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-[1/4]，2]．

∴x∈[5，7]

∴f（x）=[1/4]f（x-6）∈[-[1/16]，[1/2]]．

故答案为：[-[1/16]，[1/2]]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题主要考察抽象函数及其应用．其中涉及到了二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值一定要判断对称轴和区间的位置关系，避免出错．