Question

大一新生请教高数设函数f(x)在数集X上有定义,试证：函数f(x)在X上有界的充要条件是它在X上既有上界又有下界.

Answer 1

f(x)有界即|存在一个正数M,使得在定义域内f(x)都满足

|f(x)|≤M,即

-M≤f(x)≤M

即f(x)上界为M,下界为-M

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当f(x)有上界M1,下界M2时,即M2≤f(x)≤M1,

取M=max{|M1|,|M2|},则必有-M≤f(x)≤M

即|f(x)|≤M

∴f(x)有界

命题得证