解题思路：（1）由于函数f（x）=ax3+bx2+cx+d=（1-2x）3，则导函数也相等，令x=1，则可得3a+2b+c的值，再由二项式定理得到d，即可求3a+2b+c-d的值；（2）由（1）及a＝13，b＜0，y=f（x）在x=0处取得极值-1，可得c，d的值，设切点，求切线方程，得到23x30+bx20+1＝0，要求过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，即求g(x)＝23x3+bx2+1(b＜0)有三个零点，即是函数的极大值大于0或极小值小于0，即可求得实数b的取值范围．
（1）∵f（x）=（1-2x）3=ax3+bx2+cx+d，
对此等式两边同时求导数得：3（1-2x）2（-2）=3ax2+2bx+c，
令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）
（2）∵f′（x）=x2+2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴f(x)＝
1
3x3+bx−1…（8分）
设切点为（x0，y0），则切线方程为y−y0＝f′(x0)(x−x0)
即为y＝(
x20+2bx0)x−
2
3
x30−b
x20−1…（9分）
因为切线方程为y＝(
x20+2bx0)x−
2
3
x30−b
x20−1，
把（0，0）代入可得[2/3
x30+b
x20+1＝0，
因为有三条切线，故方程
2
3
x30+b
x20+1＝0有三个不同的实根．…（11分）
设g(x)＝
2
3x3+bx2+1(b＜0)
∵g′（x）=2x2+2bx，令g′（x）=2x2+2bx=0，可得x=0和x=-b
x （-∞，0） 0 （0，-b） -b （-b，+∞）
g′（x） + 0 一 0 +
g（x） 增 极大值 减 极小值 增因为方程有三个根，故极小值小于零，
1
3b3+1＜0，所以b＜−
33
]…（14分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．