（1）因为函数 f(x)=
a x 2 +d+1
bx+c ，g（x）=ax 3+cx 2+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴
a x 2 +d+1
-bx+c =-
a x 2 +d+1
bx+c
解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax 3+cx 2-bx+d=-ax 3-cx 2-bx-d
∴d=0…（2分）
∴ f(x)=
a x 2 +1
bx ，g（x）=ax 3+bx
由f（1）=
a+1
b =2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得 f(x)=
(2b-1) x 2 +1
bx ，
∵f（2）=
8b-3
2b ＜3，即 4-
3
2b ＜3 ，
∴
3
2b ＞1 ，所以b＞0，由此可解得： 0＜b＜
3
2 …（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x 3+x，
任取x 1，x 2∈R，且x 1＜x 2，…（1分）
g( x 2 )-g( x 1 )=( x 2 3 - x 1 3 )+( x 2 - x 1 )=( x 2 - x 1 )( x 2 2 + x 2 x 1 + x 1 2 )+( x 2 - x 1 )
=( x 2 - x 1 )[( x 2 2 + x 2 x 1 +
1
4 x 1 2 )+
3
4 x 1 2 +1]=( x 2 - x 1 )[( x 2 +
1
2 x 1 ) 2 +
3
4 x 1 2 +1]
∵x 2-x 1＞0， ( x 2 +
1
2 x 1 ) 2 +
3
4 x 1 2 +1＞0 ，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x 2）＞g（x 1），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）