Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=[14x−a2x（a∈R）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先求出f（x）在[0，1]上的解析式，再换元，利用配方法，分类讨论，可求函数的最大值；

（Ⅱ）求导数，利用f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，在利用分离参数法，即可求实数a的取值范围．

（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]

∵当x∈[-1，0]时，f（x）=

1

4x−

a

2x（a∈R）

∴f（-x）=

1

4−x−

a

2−x=4^x-a•2^x

∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）

∴f（x）=-4^x+a•2^x（x∈[0，1]）

令t=2^x，t∈[1，2]，则g（t）=at-t²=-（t-

a/2]）²+

a2

4

当[a/2≤1，即a≤2时，g（t）_max=g（1）=a-1；

当1＜

a

2]＜2，即2＜a＜4时，g（t）_max=g（[a/2]）=

a2

4；

当a≥4时，g（t）_max=g（2）=2a-4

综上，当a≤2时，f（x）的最大值为a-1；当2＜a＜4时，f（x）的最大值为

a2

4；当a≥4时，f（x ）的最大值为2a-4．

（Ⅱ）因为函数f（x）在0，1上是增函数，

所以f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0

∴a-2•2^x≥0恒成立

∴a≥2•2^x

∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]

∴a≥4．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．