解题思路：构造函数g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．
令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）-x-1＜0=g（1）的解集，
即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）-x-1为减函数，
∴x＞1，即x∈（1，+∞）．
故选A．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．
考点点评： 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．