当a＞0时，y= e x +
a
e x 在（-∞，
1
2 lna ]上为减函数，在[
1
2 lna ，+∞）上为增函数，且y= e x +
a
e x ＞0恒成立
若函数 f(x)=| e x +
a
e x |，(a∈R) 在区间[0，1]上单调递增，
则y= e x +
a
e x 在[0，1]上单调递增
则
1
2 lna ≤0
解得a∈（0，1]
当a=0时， f(x)=| e x +
a
e x |= e x 在区间[0，1]上单调递增，满足条件
当a＜0时， y= e x +
a
e x 在R单调递增，令 y= e x +
a
e x =0，则x=ln
-a
则 f(x)=| e x +
a
e x | 在（0，ln
-a ]为减函数，在[ln
-a ，+∞）上为增函数
则ln
-a ≤0，解得a≥-1
综上，实数a的取值范围是[-1，1]
故选C