Question

如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，

Answer 1

解题思路：设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x₀=x₁+x₂．判断出三者的横坐标成等差数列．

证明：由题意，设A（x1，

x12

2p），B（x2，

x22

2p）（x₁＜x₂），M（x₀，-2p）．

由x²=2py得y＝

x2

2p，得y′=[x/p]，

所以kMA＝

x1

p，kMB＝

x2

p．

因此直线MA的方程为y+2p＝

x1

p(x−x0)，直线MB的方程为y+2p＝

x2

p(x−x0)．

所以，

x12

2p+2p＝

x1

p(x−x0)①，

x22

2p+2p＝

x2

p(x−x0)②

由①、②得

x1+x2

2＝x1+x2−x0，因此x0＝

x1+x2

2，即2x₀=x₁+x₂．

所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．

点评：

本题考点： 抛物线的应用．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力，属于中档题．