Question

如图，设抛物线方程为x 2 =2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。 （

Answer 1

（1）由题意设

由

得

，则

所以

因此直线MA的方程为

直线MB的方程为

所以

①

②

由①、②得

因此

，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）由（1）知，当x ₀=2时，将其代入①、②并整理得：

，

所以，x ₁、x ₂是方程

的两根，

因此

又

所以

由弦长公式得

又

，

所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为

或

。

（3）设D（x ₃，y ₃），由题意得C（x ₁+ x ₂，y ₁+ y ₂），

则CD的中点坐标为

设直线AB的方程为

由点Q在直线AB上，并注意到点

也在直线AB上，

代入得

若D（x ₃，y ₃）在抛物线上，则

因此，x ₃=0或x ₃=2x ₀
即D（0，0）或

（i）当x ₀=0时，则

，此时，点M（0，-2p）适合题意；

（ii）当

，对于D（0，0），此时

又

，AB⊥CD，

所以

即

矛盾

对于

，因为

此时直线CD平行于y轴，

又

所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以

时，不存在符合题意的M点

综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。