Question

如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．

Answer 1

解题思路：（1）根据直线y=x-3求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，利用三点坐标，结合待定系数法，即可求出抛物线解析式；

（2）根据直线OD和BC垂直时比例系数互为相反数，得到OD的比例系数，又直线OD过原点，可知其为正比例函数，即可得到OD的解析式，然后将直线和抛物线组成方程组，即可解出M的坐标．

（1）∵y=x-3与x轴的交点B的坐标为（3，0），与y轴的交点C的坐标为（0，-3），A点坐标为（-1，0），

∴设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3），

将C（0，-3）代入解析式得，

-3=a×1×（-3），

解得，a=1，

则二次函数解析式为y=（x+1）（x-3），

即y=x²-2x-3，

（2）∵OD过原点，

∴设OD的解析式为y=kx，

∵OM⊥BC，BC解析式为y=x-3，

∴k_OD=-1，

则OD的解析式为y=-x，

将y=x²-2x-3和y=-x组成方程组得

y＝−x

y＝x2−2x−3，

整理得，x²-x-3=0，

解得，x₁=

1+

13

2，x₂=

1−

13

2（不合题意，舍去），

把x₁=

1+

13

2代入y=-x得，

y₁=-

1+

13

2，

∴M点坐标为（

1+

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的相关问题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线、直线与x轴的交点问题、垂直直线的系数的关系，难度较大，要仔细审题．