方法1:函数图象法
设 x - y = k
则 y = x - k
这表示一条直线,其截距为 -k
当 k 取最大时,截距 -k 最小
斜率恒为 1 的直线 y = x -k 与圆在第四象限相切时,截距 最小
而相切时,经过圆心(1,-2) 和切点的(与 y=x-k 垂直的)直线为
y + 2 = -(x -1),即
y = -x -1
切点坐标满足方程组
y = -x -1
x²+y²-2x+4y=0
则
x²+(x+1)²-2x -4(x+1) =0
2x² -4x - 3 = 0
x = 1 + (1/2)√10
y = -x -1 = -2 - (1/2)√10
x - y = 3 + √10
---------------------------------
方法2:判别式法
设 x - y = k
将 x = y + k 代入到 x²+y²-2x+4y=0 中
y² + 2yk + k² + y² - 2y - 2k + 4y = 0
2y² + (2k + 2)y + k² - 2k = 0
由于点 (x,y) 在圆上,关于 x 的方程必然有解
判别式
(2k+2)² - 8(k²-2k)
= -4k² + 24k + 4
= -4(k² - 6k -1) ≥ 0
k² - 6k - 1 ≤ 0
(k - 3)² ≤ 10
-√10≤ k -3 ≤√10
3-√10≤ k ≤ 3 + √10
所以 x - y 最大值为 3 + √10
---------------
方法3:三角函数法
x = 1 + √5cosθ
y = -2 + √5sinθ
x - y = 3 + √5(cosθ - sinθ)
= 3 + √10 cos(θ+45)
当 cos(θ+45) = 1 时,取最大值,与方法1 和 2 的结论相同