Question

（2014•福建模拟）定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（

Answer 1

首先证明当M≥2时，函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数．

对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，

则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．

因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna+lnb＞lnc．

同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．

故函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分

（ii）其次证明当0＜M＜2时，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，

因为0＜M＜2，所以M+M=2M＞M²，所以M，M，M²是某个三角形的三条边长，

而lnM+lnM=2lnM=lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能为某个三角形的三边长，所以h（x）=lnx 不是保三角形函数．

所以，当M＜2时，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数．

综上所述：M的最小值为2