Question

（2014•宝鸡二模）函数f（x）在定义域内可导，若满足对任意x∈A（其中A为定义域的子集），都有f（x）＞0，f′（x

Answer 1

（1）∵函数f（x）在（0，+∞）内具备“保号”性质，

∴在（0，+∞）有f（x）＞0，f′（x）＞0，

又a＞0，

∴F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，

∴F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）内是增函数．

（2）f（x）定义域为（-1，+∞），

f′(x)＝ex−

1

x+1＝

ex(x+1)−1

x+1．

显见，当x＞0时，f′（x）＞0；

当x=0时，f′（x）=0；

当-1＜x＜0时，f′(x)＝ex−

1

x+1为增函数，f′（x）＜0．

又f（0）=3，由上f（x）在（0，+∞）内是增函数，

故在（0，+∞）有f（x）＞0

综上，所求f（x）最大“保号”区间为（0，+∞）．

（3）结论：xf（x）＞[1/xf(

1

x)．证明如下：

当o＜x＜1时，

1

x＞x，

由（1）的结论：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）内是减函数

∴exf(x)＞e

1

x]f(

1

x)．

即：f(x)＞e

1

x−xf(

1

x)，

设h(x)＝

1

x−x+2lnx(0＜x＜1)，

则h′(x)＝−

1

x2−1+

2

x＝−

(x−1)2

x2＜0，

∴h（x）在（0，1）递减，

故h（x）＞h（1）=0，即[1/x−x＞−2lnx．

则e

1

x−x＞

1

x2]，

∴f（x）＞e

1

x−xf(

1

x)＞

1

x2f(

1

x)

即f(x)＞

1

x2f(

1

x)，

∴xf（x）＞

1

xf(

1

x)．