解题思路:(1)利用赋值法和“f(xy)=f(x)+f(y)”,分别求出f(1)、f(-1)的值,再用同样的方法判断出f(-x)与f(x)的关系即可;
(2)设任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,根据题意可得
f(
x
2
x
1
)>0
,再由
x
2
=
x
2
x
1
•
x
1
和恒等式得
f(
x
2
)−f(
x
1
)=f(
x
2
x
1
)>0
,利用函数单调性的定义得到结论;
(3)根据f(2)=1和恒等式求出f(4)=3,将不等式转化为f(x2-1)<f(8),再由偶函数的单调性列出不等式组求出x的范围.
(1)f(x)是偶函数,证明如下:
由题意知,f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,
令x=y=-1得f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0,
再令y=-1得,f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f(x)是偶函数…(4分)
(2)设任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则
x2
x1>1,
当x>1时,f(x)>0,所以f(
x2
x1)>0
∵f(x2)=f(
x2
x1•x1)=f(
x2
x1)+f(x1)
∴f(x2)−f(x1)=f(
x2
x1)>0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数…(8分)
(3)由题意知,f(2)=1,
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=3,
∴不等式f(x2-1)<3,转化为f(x2-1)<f(8),
由(1)(2)知,f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递减,所以在(0,+∞)上单调递增,
∴
−8<x2−1<8
x2−1≠0,解得-3<x<3且x≠±1,
∴原不等式的解集为(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3)…(12分)
点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用,以及定义法证明函数的奇偶性和单调性,主要利用赋值法和恒等式求值,注意需要给x、y恰当值,这样才能利用条件进行求解、证明,考查分析问题、解决问题和能力.