解题思路：（1）先求出原函数的导函数，然后代入F（x）的解析式化简，化简后由周期公式求周期，由复合函数单调性求单调增区间；
（2）根据f（x）=2f′（x），可以求出tanx的值，把要求值的分式弦化切，则结果可求．
（1）因为f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)＝(sinx+cosx)(cosx−sinx)+(sinx+cosx)2＝cos2x+1+sin2x＝
2sin(2x+
π
4)+1，
所以T=π；
由2x+
π
4∈[2kπ−
π
2，2kπ+
π
2](k∈Z)，得x∈[kπ−
3
8π，kπ+
π
8]（k∈Z）
单调递增区间为[kπ−
3
8π，kπ+
π
8]（k∈Z）．
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx＝
1
3
所以
1+sin2x
cos2x−sinxcosx=
2sin2x+cos2x
cos2x−sinxcosx＝
2tan2x+1
1−tanx=[11/6]．
点评：
本题考点： 导数的加法与减法法则；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
考点点评： 本题考查了导数的运算法则，三角函数中的恒等变换应用及复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循同增异减原则，三角函数的化简与求值，是齐次式的一般是采用弦化切．