Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．

Answer 1

解题思路：（I）根据f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx-2cosx-2sinx⇒tanx=[1/3]；再求

1+si

n

2

x

co

s

2

x−sinxcosx

的值，可以采用“齐次化切法”．

（II）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小值，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定正弦型函数的性质求出最值

（I）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．

由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．

解得tanx=[1/3]

∴

1+sin2x

cos2x−sinxcosx=

2sin2x+cos2x

cos2x−sinxcosx=

2tan2x+1

1−tanx=[11/6]；

（II）由（I）得代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²

∴F（x）=cos2x+sin2x+1=

2sin（2x+[π/4]）+1

当2x+[π/4]=2kπ+[π/2]⇒x=kπ+[π/8]（k∈Z）时，[F（x）]max=

2+1

当2x+[π/4]=2kπ-[π/2]⇒x=kπ-[3π/8]（k∈Z）时，[F（x）]max=-

2+1

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 求f（x）的导数，必须保证求导的准确，要熟记求导公式．已知tanx=a，求其它三角函数代数式的值，常常采用“齐次化切法”．