Question

（2011•浙江模拟）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2−2nx+bn＝0(n∈N*)的两实根，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用一元二次方程的根与系数的关系和a₁=1即可求出；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的关系式和等比数列的定义即可证明．

（Ⅰ）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2−2n•x+bn＝0(n∈N*)的两实根，

∴

an+an+1＝2n

bn＝an•an+1，

∵a₁=1，

∴a₂=1，a₃=3，a₄=5．

（Ⅱ）证明：∵

an+1−

1

3×2n+1

an−

1

3×2n＝

2n−an−

1

3×2n+1

an−

1

3×2n＝

−(an−

1

3×2n)

an−

1

3×2n＝−1．

故数列{an−

1

3×2n}是首项为a1−

2

3＝

1

3，公比为-1的等比数列．

∴an−

1

3×2n＝

1

3×(−1)n−1，

即an＝

1

3[2n−(−1)n]．

点评：

本题考点： 函数的零点；等比数列的通项公式．

考点点评： 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的定义是解题的关键．