Question

第一题：已知数列｛an}的相邻两项an,an+1关于x的方程x²-2^nX+bn=0(n∈N*）的两根

Answer 1

我来试试吧...

第一题应该还有个条件 a1=1

(1)x²-2^nX+bn=0的两根是an,an+1

故 an + an+1=2^n

an*an+1=bn.①

an + an+1=2^n

an -1/3*2^n=-an+1 +2^n-1/3*2^n=-an+1 +2/3*2^n

=-[an+1 - 1/3*2^(n+1)]

a1-1/3*2^1=a1-2/3=1/3

故｛an-(1/3)2^n}是首项为1/3,公比为-1的等比数列

（2)由题,(1)知,an-(1/3)2^n=1/3(1-(-1)^n)/(1+1)=(1-(-1)^n)/6

an=1/3[2^n-(-1)^n]

累和得

当n是偶数时,Sn=1/3[2+2^2+...+2^n]=2^(n+1)/3-2/3

当n时奇数时,Sn=1/3[2+2^2+...+2^n]-1/3=2^(n+1)/3-1

1.当n为奇数时,

由①得 bn=an*an+1=[2^(n+1)/3-1][2^(n+2)/3-2/3]

=1/9[2^(2n+1)+2^n-1]

于是,bn-λSn=1/9[2^(2n+1)+2^n-1]-λ[2^(n+1)/3-1]>0

整理 1/9[2^(n+1) -1][2^n +1]>λ(2^(n+1) -1)/3

λ