Question

实数数列{an}相邻两项an,an+1是方程x^2-Bn+(1/3)^n=0的两根,且a1=2 1)证明an+2/an为

Answer 1

（1）由韦达定理可得：

a(n)a(n+1)=(1/3)^n

a(n+1)a(n+2)=(1/3)^(n+1)

下式÷上式得：

a(n+2)/a(n)=1/3=定值；

（2）取n=1,则a(1)a(2)=1/3,a(2)=1/6,

所以,可得：

a(2n-1)=2×(1/3)^(n-1),

a(2n)=(1/6)×(1/3)^(n-1)；

（3）B(n)=a(n)+a(n+1)

当n=2k,则

B(2k)=(1/6)×(1/3)^(k-1)+2×(1/3)^k

=(5/6)×(1/3)^(k-1)；

当n=2k-1,则

B(2k-1)=2×(1/3)^(k-1)+(1/6)×(1/3)^(k-1)

=(13/6)×(1/3)^(k-1)；

所以

S=13/6+5/6+(13/6)×(1/3)+(5/6)×(1/3)+(13/6)×(1/3)^2+(5/6)×(1/3)^2+…+(13/6)×(1/3)^(k-1)+(5/6)×(1/3)^(k-1)+…

=(13/6+5/6)/(1-1/3)

=3÷(2/3)

=9/2

(第三不是很肯定.,请检验）