Question

已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为

Answer 1

解题思路：由题意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，mn=1．根据函数f（x）=|log₂x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得|

log

2

m

2

|=2，或log₂n=2，由此求得n的值．

由题意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，∴log₂mn=0，∴mn=1．

故函数f（x）=|log₂x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．

再根据f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，可得|log2m2|=2，或 log₂n=2．

当|log2m2|=2时，log2m2=-2，∴m²=[1/4]，∴m=[1/2]，∴n=[1/m]=2．

当log₂n=2，n=4，m=[1/4]，此时，f（x）在区间[m²，n]上的最大值为|log2

1

16|=4，不满足条件．

综上可得，n=2，

故答案为：2．

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值．

考点点评： 本题主要考查对数函数的单调性的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．