解题思路：做这类题时要综合二次函数的图象，及等腰三角形的知识．
（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等（满足条件即可）；（1分）
（2）设l2的解析式为y=-x2+bx+c，联立方程组
−2＝−1+b+c
−1＝−9+3b+c，
解得：b＝
9
2，c＝−
11
2，则l2的解析式为y=-x2+
9
2x-
11
2．（3分）
点C的坐标为（
9
4，−
7
16）．（4分）
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=
7
16，BE=1，DE=2，DF=
5
4，FE=
3
4．
得：S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD=
15
16．（5分）
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=
1
2x-
5
2，则点G的坐标为（0，−
5
2），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，PG＝−
5
2−h，连接AP、BP，
则S△ABP=S△BPG-S△APG=-
5
2-h，又S△ABC=S△ABP=
15
16，得h＝−
55
16，点P的坐标为（0，−
55
16）．（6分）
②当点P位于点G的上方时，PG＝
5
2+h，同理h＝−
25
16，点P的坐标为（0，−
25
16）．
综上所述所求点P的坐标为（0，−
55
16）或（0，−
25
16）（7分）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）
点评：
本题考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；等腰三角形的判定．