Question

已知抛物线C：x 2 =4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．

Answer 1

（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1代入x ²=4y得x ²-4kx-4=0

设A（x ₁，y ₁）、B（x ₂，y ₂），则x ₁+x ₂=4k，x ₁x ₂=-4

1

y 1 +

1

y 2 ≥2

1

y 1 •

1

y 2 =2

1

x 21

4 •

1

x 22

4 =2

16

(-4) 2 =2

所以

1

y 1 +

1

y 2 的取值范围是[2，+∞）．（7分）

（Ⅱ）当l平行于x轴时，要使∠AQF=∠BQF，则Q必在y轴上．

设点Q（0，b），由题意得

k AQ + k BQ =0，设A( x 1 ， y 1 )，B( x 2 ， y 2 )， ，

∵ x 1 2 =4 y 1 ， x 2 2 =4 y 2 ，∴ b=-1

∴Q（0，-1）

∵以上每步可逆，

∴存在定点Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）