Question

（2014•吉林三模）已知函数f（x）=lnx-[a/x]，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=lnx-[1/x]，

∴f′（x）=[1/x]+[1

x2=

x+1

x2，x＞0．

∵x＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（2）∵f（x）=lnx-

a/x]，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．

∴g（x）=ax-[a/x]-5lnx，x＞0

∴g′（x）=a+[a

x2-

5/x]=

ax2−5x+a

x2，

若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，

∴a＞[5x

x2+1=

5

x+

1/x]，

∵[5

x+

1/x]≤

5

2

1=[5/2]（x=1时等号成立），

∴a＞[5/2]．

（3）当a=2时，g（x）=2x-[2/x]-5lnx，

h（x）=x²-mx+4=（x-[m/2]）²+4-

m2

4，

∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，

∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，

g′（x）=

2x2−5x+2

x2=