Question

已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）

Answer 1

解题思路：（1）假设f（x）属于M，则f（x）具有M的性质，列出方程解方程无解，则得到f（x）不属于M．

（2）f（x）属于M，则f（x）具有M的性质，列出方程有解则△≥0，求出a的范围．

：（1）若f（x）=

1/x]属于M，则存在x₀∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得[1

x0+1=

1

x0+1，

则x₀²+x₀+1=0，因为方程x₀²+x₀+1=0无解，所以f（x）=

1/x]不属于M

（2）由f（x）=lg[a

x2+1属于M知，有lg

a

(x+1)2+1=lg

a

x2+1+lg

a/2]有解，

即（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0有解；

当a=2时，x=-[1/2]；

当a≠2时，由△≥0，得a²-6a+4≤0，得a∈[3-

5，2]∪（2，3+

5]，

又因为对数的真数大于0，

所以a＞0

所以a∈[3-

5，，3+

5]

点评：

本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查元素属于集合则元素具有集合的属性；不具有集合的公共属性则元素不属于集合．