Question

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点，则双曲线的标准方程为x23−y22＝1x23−y22

Answer 1

解题思路：化椭圆方程为标准方程，求出椭圆的焦点，由此设出双曲线的标准方程，把点（3，-2）代入方程，联立a²+b²=c²即可求得a²，b²的值，则双曲线的方程可求．

由4x²+9y²=36，得

x2

9+

y2

4＝1，则c²=9-4=5，所以c=

5．

所以椭圆的焦点为F1(−

5，0)，F2(

5，0)．

因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以可设双曲线方程为

x2

a2−

y2

b2＝1．

因为双曲线过点（3，-2），所以

9

a2−

4

b2＝1①

又a²+b²=5②，联立①②，解得：a²=3或a²=15（舍），b²=2．

所以双曲线的标准方程为

x2

3−

y2

2＝1．

故答案为

x2

3−

y2

2＝1．

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，由焦点的位置设曲线标准方程是该题的关键，此题是中档题．