Question

f(x)=x^k sin1/x (x≠0),0(x=0) 问当k满足什么条件时,函数在x=0时①可导,②连续,③可导连续

Answer 1

连续必须左右邻域相等

f(0)=0

f(0+)=lim(x->0+) x^ksin1/x=0, 须有k>=1

f(0-)=lim(x->0-) x^ksin1/x=0, 须有k>=1

因此当k>=1时,在x=0处连续.

可导须连续, 即k>=1

且左右导数相等

f'(0)=lim(h->0)[f(h)-f(0)]/h=lim(h->0) h^(k-1)sin(1/h), 只有当k-1>=1,即k>=2时有导数f'(0)=0

x≠0时,f'(x)=kx^(k-1)sin1/x-x^(k-2) cos1/x

当k>=3时,f'(0+)=f'(0-)=0

当k=2时,f'(0+)与f'(0-)不存在

所以x=0处导数存在的条件是：k>=3

这也是可导连续的条件.