Question

已知函数f（x）=tanx，x∈（0，[π/2]）．若x1，x2∈（0，[π/2]），且x1≠x2，

Answer 1

解题思路：欲证不等式的左边是[1/2]（tgx₁+tgx₂），将正切化成正余弦，通分后利用三角函数的和角公式和积化和差公式，结合三角函数的有界性进行放缩，最后利用半角公式即可证得．

证明：tanx₁+tanx₂=

sinx1

cosx1+

sinx2

cosx2=

sinx1cosx2+cosx1sinx2

cosx1cosx2

=

sin(x1+x2)

cosx1cosx2=

2sin(x1+x2)

cos(x1+x2)+cos(x1-x2)

∵x₁，x₂∈（0，[π/2]），x₁≠x₂，

∴2sin（x₁+x₂）＞0，cosx₁cosx₂＞0，且0＜cos（x₁-x₂）＜1，

从而有0＜cos（x₁+x₂）+cos（x₁-x₂）＜1+cos（x₁+x₂），

由此得tanx₁+tanx₂＞=

2sin(x1+x2)

1+cos(x1+x2)，∴[1/2]（tanx₁+tanx₂）＞tg

x1+x2

2，

即[1/2][f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2）．

点评：

本题考点： 已知三角函数模型的应用问题；三角函数的和差化积公式．

考点点评： 本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．