解题思路:(1)由已知中函数
F(x)=
1
3
a
x
3
+b
x
2
+cx(a≠0)
,F'(-1)=0,且F(x)在x=1处取得极小值-2,我们易构造出一个关于a,b,c的三元一次方程组,解方程组,求出a,b,c的值,即可得到导函数的解析式,分析导函数的符号,即可求出函数F(x)的单调区间;
(2)由f(x)=F'(x),我们易求出f'(x)的解析式,若f'(x)>0的解集为A,且满足A∪(0,1)=(0,+∞),则
0≤
−a−c
2a
<1
,解不等式即可得到[c/a]的取值范围.
(1)因F'(x)=ax2+2bx+c由题意得:
F′(−1)=0
F′(1)=0
F(1)=−2即
a−2b+c=0
a+2b+c=0
1
3a+b+c=−2解得
a=3
b=0
c=−3
所以F'(x)=3x2-3,
由F'(x)>0得x<-1或x>1,故增区间为(-∞,-1),(1,+∞)
由F'(x)<0,得-1<x<1,故减区间为(-1,1)(-1、1)
(2)由f(x)=F'(x),
得f'(x)=2ax+a+c,
由f'(x)>0,
得2ax+a+c>0
又A∪(0,1)=(0,+∞),
故a>0且0≤
−a−c
2a<1,
得−3<
c
a≤−1.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件.
考点点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.