已知函数F(x)=13ax3+bx2+cx(a≠0),F'(-1)=0.

1个回答

  • 解题思路:(1)由已知中函数

    F(x)=

    1

    3

    a

    x

    3

    +b

    x

    2

    +cx(a≠0)

    ,F'(-1)=0,且F(x)在x=1处取得极小值-2,我们易构造出一个关于a,b,c的三元一次方程组,解方程组,求出a,b,c的值,即可得到导函数的解析式,分析导函数的符号,即可求出函数F(x)的单调区间;

    (2)由f(x)=F'(x),我们易求出f'(x)的解析式,若f'(x)>0的解集为A,且满足A∪(0,1)=(0,+∞),则

    0≤

    −a−c

    2a

    <1

    ,解不等式即可得到[c/a]的取值范围.

    (1)因F'(x)=ax2+2bx+c由题意得:

    F′(−1)=0

    F′(1)=0

    F(1)=−2即

    a−2b+c=0

    a+2b+c=0

    1

    3a+b+c=−2解得

    a=3

    b=0

    c=−3

    所以F'(x)=3x2-3,

    由F'(x)>0得x<-1或x>1,故增区间为(-∞,-1),(1,+∞)

    由F'(x)<0,得-1<x<1,故减区间为(-1,1)(-1、1)

    (2)由f(x)=F'(x),

    得f'(x)=2ax+a+c,

    由f'(x)>0,

    得2ax+a+c>0

    又A∪(0,1)=(0,+∞),

    故a>0且0≤

    −a−c

    2a<1,

    得−3<

    c

    a≤−1.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.