解题思路：（1）由已知中函数
F(x)＝
1
3
a
x
3
+b
x
2
+cx(a≠0)
，F'（-1）=0，且F（x）在x=1处取得极小值-2，我们易构造出一个关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c的值，即可得到导函数的解析式，分析导函数的符号，即可求出函数F（x）的单调区间；
（2）由f（x）=F'（x），我们易求出f'（x）的解析式，若f'（x）＞0的解集为A，且满足A∪（0，1）=（0，+∞），则
0≤
−a−c
2a
＜1
，解不等式即可得到[c/a]的取值范围．
（1）因F'（x）=ax2+2bx+c由题意得：
F′(−1)＝0
F′(1)＝0
F(1)＝−2即
a−2b+c＝0
a+2b+c＝0
1
3a+b+c＝−2解得
a＝3
b＝0
c＝−3
所以F'（x）=3x2-3，
由F'（x）＞0得x＜-1或x＞1，故增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
由F'（x）＜0，得-1＜x＜1，故减区间为（-1，1）（-1、1）
（2）由f（x）=F'（x），
得f'（x）=2ax+a+c，
由f'（x）＞0，
得2ax+a+c＞0
又A∪（0，1）=（0，+∞），
故a＞0且0≤
−a−c
2a＜1，
得−3＜
c
a≤−1．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．