已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=bex+c(a,b,c∈R),且g(x)的图象在(0,g(x))外的切线方程为

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)求函数定义域、导数,按照a≥0,a<0两种情况讨论f′(x)的符号变化,由极值定义可得结论;

    (Ⅱ)当a=0时,令φ(x)=g(x)-f(x)-2=ex-lnx-2,利用导数表示出φ(x)的最小值,只需说明最小值大于零即可.

    (Ⅰ) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),

    f′(x)=a+

    1

    x(x>0).

    当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)没有极值;

    当a<0时,f′(x)=

    a(x+

    1

    a)

    x,

    若x∈(0,−

    1

    a),则f'(x)>0;

    若x∈(−

    1

    a,+∞),则f'(x)<0,

    ∴f(x)存在极大值,且当x=−

    1

    a时,f(x)极大值=f(−

    1

    a)=ln(−

    1

    a)−1.

    综上可知:当a≥0时,f(x)没有极值;

    当a<0时,f(x)存在极大值,且当x=−

    1

    a时,f(x)极大值=ln(−

    1

    a)−1.

    (Ⅱ)∵函数g(x)的导函数g'(x)=bex

    g'(0)=b.

    ∵g(0)=b+c,

    b+c=1

    b=1,

    ∴g(x)=ex

    当a=0时,f(x)=lnx,

    令φ(x)=g(x)-f(x)-2,则φ(x)=ex-lnx-2,

    ∴φ′(x)=ex−

    1

    x,且φ'(x)在(0,+∞)上为增函数,

    设φ′(x)=0的根为x=t,则et=

    1

    t,即t=e-t

    ∵当x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数,

    当x∈(t,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数,

    ∴φ(x)min=φ(t)=et−lnt−2=et−lne−t−2=et+t−2.

    ∵φ'(1)=e-1>0,φ′(

    1

    2)=

    e−2<0,

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查恒成立问题、利用导数研究函数的极值,考查分类整合思想、转化思想,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力.注意认真体会(Ⅱ)问中二次求导的应用.