Question

已知二阶矩阵A有特征值λ 1 =1及对应的一个特征向量 e 1 = 1 1 和特征值λ 2 =2及对应的一个特征向量 e

Answer 1

设矩阵 A=

ab

cd ，这里a，b，c，d∈R，

因为

1

1 是矩阵A的属于λ ₁=1的特征向量，则有

1-a-b

-c1-d

1

1 =

0

0 ①，

又因为

1

0 是矩阵A的属于λ ₂=2的特征向量，则有

2-a-b

-c1-d

1

0 =

0

0 ②，

根据①②，则有

1-a-b=0

-c+1-d=0

2-a=0

-c=0 从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此 A=

2-1

01 ，（6分）

根据题意

1

1 ，

1

0 分别是矩阵A ^-1属于特征值1，

1

2 的特征向量，

不妨设 A -1 =

ef

gh ，则有

ef

gh

2-1

01 =

-2e-e+f

2g-g+h =

10

01 ，

则得

1-e-f=0

-g+1-h=0

1

2 -e=0

-g=0 从而 e=

1

2 ，f=

1

2 ，g=0 ，h=1 ，因此 A -1 =

1

2

1

2

01 ．（10分）