Question

已知线性变换f对应的矩阵M=021−1，线性变换g对应的矩阵N的属于特征值λ=-1的一个特征向量ξ=1−1，向量α=12

Answer 1

（1）∵M=

02

1−1，∴|M|=-2，

∴M^-1=

1

21

1

20--------------------------------3

（2）设N=

ab

cd，则

ab

cd

1

−1=

1

−1，

ab

cd

1

2=

8

4，即

a−b＝−1

a+2b＝8

c−d＝1

c+2d＝4

解得a=2，b=3，c=2，d=1，

所以N=

23

21----------------6分

（3）依次作线性变换f和g对应的矩阵NM=

23

21=

02

1−1=

31

13，

设曲线C上任一点P（x，y）在矩阵NM对应的线性变换作用下得到的像为P′（x′，y′），

则

x′＝3x+y

y′＝x+3y代入曲线C′得3x+y+5（x+3y）+4=0，即2x+4y+1=0

所求曲线C的方程为2x+4y+1=0．--------------10分．