Question

若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是______．

Answer 1

解题思路：先求函数f（x）=ax³+lnx的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax³+lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围

∵f′（x）=3ax²+[1/x] （x＞0）

∵曲线f（x）=ax³+lnx存在垂直于y轴的切线，

∴f′（x）=3ax²+[1/x]=0有正解

即a=-

1

3x3有正解，∵−

1

3x3＜0

∴a＜0

故答案为（-∞，0）

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考察了导数的几何意义，转化化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法