(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2
=a^2+b^2+2ab+b^2+c^2+2bc+c^2+a^2+2ca
=2(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ca
根据题目a^2+b^2=2005/3-c^2得：a^2+b^2+c^2=2005/3
所以2(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ca=4010/3+2ab+2bc+2ca
根据(a-b)^2≥0得：2ab≤a^2+b^2,同理：2bc≤b^2+c^2 2ca≤c^2+a^2
所以2ab+2bc+2ca≤2(a^2+b^2+c^2)=4010/3
所以2(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ca≤4010/3+4010/3=8020/3
即(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≤8020/3
所以(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2的最大值为8020/3.