Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c和函数g（x）=ln（1+x 2 ）+ax（a＜0）．

Answer 1

（Ⅰ）

①当

，即a≤﹣1时，g′（x）≤0对x∈R恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；

②当﹣1＜a＜0时，令g′（x）＞0，则ax ²+2x+a＞0

∴

，

令g′（x）＜0，则ax ²+2x+a＜0

∴

或

，

∴

上单调递增，在

和

上单调递减；

综上所述，当a≤﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，

当﹣1＜a＜0时，g（x）在

上单调递增，

在

和

上单调递减．

（Ⅱ）证明：∵关于x的方程f（x）=x没有实数根

∴ax ²+bx+c=x没有实数根

∴ax ²+（b﹣1）x+c=0没有实数根

∴△=（b﹣1） ²﹣4ac＜0

∵f（f（x））=x

∴a（ax ²+bx+c） ²+b（ax ²+bx+c）+c=x

∴[ax ²+（b﹣1）x+c][a ²x ²+a（b+1）x+b+ac+1]=0

∵ax ²+（b﹣1）x+c≠0

∴a ²x ²+a（b+1）x+b+ac+1=0

∵△=a ²（b+1） ²﹣4a ²（b+ac+1）=a ²[（b+1） ²﹣4（b+ac+1）]=a ²[（b﹣1） ²﹣4ac﹣4]＜0

∴a ²x ²+a（b+1）x+b+ac+1=0无实根

∴方程f（f（x））=x也没有实数根；

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，

当x∈（0，+∞）时，由g（x）＜g（0）=0

得：ln（1+x ²）＜x，

∴

=lne，

∴

e