解题思路：（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），把C（-3，4）代入，解方程求得a的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）由菱形的对角相等可知∠OCD=∠OAB，则以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似时，分两种情况：①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD；②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）∵四边形OABC为菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∵OD⊥OA，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC=
OD2+CD2=5，
∴A（5，0）．
故答案为：（5，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=[1/6]，
则y=[1/6]x（x-5）=[1/6]x2-[5/6]x．
∵y=[1/6]（x-[5/2]）2-[25/24]，
∴顶点坐标为（[5/2]，-[25/24]）；
（3）∵∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，
∴分两种情况：
①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD，
则[AO/CD]=[PO/OD]，即[5/3]=[PO/4]，
解得PO=[20/3]，此时P（0，[20/3]）；
②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，则OP=OD=4，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△OPM∽△OCD，
[PM/CD]=[OM/OD]=[OP/OC]，可得PM=[12/5]，OM=[16/5]，此时P（[16/5]，[12/5]）；
综上所述，存在符合要求的点P，它的坐标为（0，
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是一道二次函数的综合题，考查了菱形的性质、用待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．