已知双曲线
的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是
，且双曲线
过点
.
（1）求此双曲线
的方程；
（2）设直线
过点
，其方向向量为
，令向量
满足
.双曲线
的右支上是否存在唯一一点
，使得
. 若存在，求出对应的
值和
的坐标；若不存在，说明理由.
（1）
（2）
，
.
（1）设双曲线
的方程为
，将点
代入可得
，
双曲线
的方程为
.
（2）依题意，直线
的方程为
.设
是双曲线右支上满足
的点，结合
，得
，
即点
到直线
的距离
①若
，则直线
与双曲线
的右支相交，此时双曲线
的右支上有两个点到直线
的距离为1，与题意矛盾；
②若
，则直线
在双曲线
右支的上方，故
，从而
. 又因为
，所以
.
当
时，方程有唯一解
，则
；
当
时，由
得
，此时方程有唯一解
，则