Question

设函数f（x）=x-ln（x+2）,证明：函数f（x）在[e^（-2）—2,e^4—2]内有2个零点~

Answer 1

函数f(x)=x-㏑(x+2).该函数定义域为(-2,+∞),显然,-2＜e^(-2)-2＜-1＜(e^4)-2.又f[e^(-2)-2]=[e^(-2)-2]-㏑[e^(-2)]=e^(-2)-2+2=e^(-2)＞0.f(-1)=(-1)-㏑(-1+2)=-1＜0,f[(e^4)-2]=[(e^4)-2]-㏑(e^4)=(e^4)-6＞0.(一）在区间[e^(-2)-2,-1]上,f[e^(-2)-2]＞0,f(-1)＜0.∴由“零点存在定理”可知,函数f(x)在区间[e^(-2)-2,-1]内必有一个零点.（二）同理,函数f(x)在区间[-1,e^4-2]内必有一个零点.综上,函数f(x)在[e^(-2)-2,e^4-2]内至少有两个零点.【注：只能这样了,你没有学过导数,函数的单调性无法证明】