有理数点是不连续点,并且是第一类间断点.
先给个命题：对任意的x 0 ∈ [ 0,1 ],成立lim（x →x 0）R (x ) =0 (当x = 0,1 时,考虑单侧极限).
【证】对于任意的ε > 0,不妨设ε < 1/2,因为使R (q/p) = 1/p > ε的p 至多有有限个,
即p 只能取2 ≤ p ≤ [ 1/ε] 的正整数,
因此,使R (x ) >ε的区间[ 0,1 ] 中的有理数x只有有限个,不妨设它们分别为x 1,x 2,⋯,x N
因为x 0 ∈ [ 0,1 ],它们也属于区间[ 0,1 ],故必有某一个,譬如说x j 距x 0 距离最近,
记δ= |x j -x 0|则对 x ∈U(x 0,δ) ,便有
|R (x ) - 0| = |R (x ) | = R (x ) < ε
故由极限定义知lim（x →x 0）R (x ) = 0.
——所以说,对于任意有理数x0来说,R(x)当x趋向x0时的极限总是等于0
也即有理数点是第一类间断点.