已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

1个回答

  • 解题思路:(1)由f(x)=f(-x),化简可得x=-2kx对一切x∈R恒成立,从而求得k的值.

    (2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,方程

    2

    x

    +

    1

    2

    x

    =a•

    2

    x

    +a

    有且只有一个实根,且a•2x+a>0成立,则a>0.令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根,分类讨论求得a的范围,综合可得结论.

    (1)由函数f(x)是偶函数可知:f(x)=f(-x),

    ∴log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx,化简得log4

    4x+1

    4−x+1=−2kx,

    即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=−

    1

    2.

    (2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,

    即方程log4(4x+1)−

    1

    2x=log4(a•2x+a)有且只有一个实根,

    化简得:方程2x+

    1

    2x=a•2x+a有且只有一个实根,且a•2x+a>0成立,则a>0.

    令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根,

    设g(t)=(a-1)t2+at-1,注意到g(0)=-1<0,

    所以①当a=1时,有t=1,合题意;

    ②当0<a<1时,g(t)图象开口向下,且g(0)=-1<0,则需满足

    a

    2(a−1)>0

    △=0,

    此时有a=−2+2

    2;a=−2−2

    2(舍去).

    ③当a>1时,又g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根.

    综上可知,a的取值范围是{−2+2

    2}∪[1,+∞).

    点评:

    本题考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,二次函数的性质的应用,体现了化归与转化的数学思想,属于基础.