解题思路:(1)由f(x)=f(-x),化简可得x=-2kx对一切x∈R恒成立,从而求得k的值.
(2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,方程
2
x
+
1
2
x
=a•
2
x
+a
有且只有一个实根,且a•2x+a>0成立,则a>0.令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根,分类讨论求得a的范围,综合可得结论.
(1)由函数f(x)是偶函数可知:f(x)=f(-x),
∴log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx,化简得log4
4x+1
4−x+1=−2kx,
即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=−
1
2.
(2)由题意可得,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程log4(4x+1)−
1
2x=log4(a•2x+a)有且只有一个实根,
化简得:方程2x+
1
2x=a•2x+a有且只有一个实根,且a•2x+a>0成立,则a>0.
令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根,
设g(t)=(a-1)t2+at-1,注意到g(0)=-1<0,
所以①当a=1时,有t=1,合题意;
②当0<a<1时,g(t)图象开口向下,且g(0)=-1<0,则需满足
−
a
2(a−1)>0
△=0,
此时有a=−2+2
2;a=−2−2
2(舍去).
③当a>1时,又g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根.
综上可知,a的取值范围是{−2+2
2}∪[1,+∞).
点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,二次函数的性质的应用,体现了化归与转化的数学思想,属于基础.