Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）=f（-x），化简可得x=-2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．

（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程

2

x

+

1

2

x

＝a•

2

x

+a

有且只有一个实根，且a•2^x+a＞0成立，则a＞0．令t=2^x＞0，则（a-1）t²+at-1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（-x），

∴log4(4x+1)+kx＝log4(4−x+1)−kx，化简得log4

4x+1

4−x+1＝−2kx，

即x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝−

1

2．

（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

即方程log4(4x+1)−

1

2x＝log4(a•2x+a)有且只有一个实根，

化简得：方程2x+

1

2x＝a•2x+a有且只有一个实根，且a•2^x+a＞0成立，则a＞0．

令t=2^x＞0，则（a-1）t²+at-1=0有且只有一个正根，

设g（t）=（a-1）t²+at-1，注意到g（0）=-1＜0，

所以①当a=1时，有t=1，合题意；

②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=-1＜0，则需满足

−

a

2(a−1)＞0

△＝0，

此时有a＝−2+2

2；a＝−2−2

2（舍去）．

③当a＞1时，又g（0）=-1，方程恒有一个正根与一个负根．

综上可知，a的取值范围是{−2+2

2}∪[1，+∞）．

点评：

本题考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．