Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数

Answer 1

解题思路：（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；

（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．

解（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R））是偶函数

∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-kx）=log₄（

1+4x

4x）-kx=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）恒成立

∴-（k+1）=k，则k=−

1

2．

（2）g（x）=log₄（a•2^x-[4/3]a），

函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即

方程f（x）=g（x）只有一个解

由已知得log₄（4^x+1）−

1

2x=log₄（a•2^x-[4/3]a），

∴log₄（

4x+1

2x）=log₄（a•2^x-[4/3]a），

方程等价于

a•2x−

4

3a＞0

4x+1

2x＝a•2x−

4a

3，

设2^x=t，t＞0，则（a-1）t²-[4/3at-1=0有一解

若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t²-

4

3at-1，

∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解

∴a＞1满足题意

若a-1=0，即a=1时，不满足题意

若a-1＜0，即a＜1时，由△＝(−

4

3a)2+4(a−1)＝0，得a=-3或a=

3

4]，

当a=-3时，t=[1/2]满足题意

当a=[3/4]时，t=-2（舍去）

综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．

点评：

本题考点： 函数的图象．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．