解题思路：（Ⅰ）由f（-x）=f（x）恒成立，可得
lo
g
4
(
4
−x
+1)−kx＝lo
g
4
(
4
x
+1)+kx
，所以有（1+2k）x=0对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明
y＝f(x)+
3
2
x＝lo
g
4
(
4
x
+1)+x
在定义域R上是单调增函数，对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线
y＝−
3
2
x+b
最多只有一个公共点，从而证得结论．
（Ⅲ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，化简得方程
2
x
+
1
2
x
＝a•
2
x
−
4
3
a
有且只有一个实根．令t=2x（t＞0），则方程
(a−1)
t
2
−
4
3
at−1＝0
有且只有一个正实根．分（1）当a=1时和（2）当a≠1时两种情况，分别求得t的值，可得结论．
（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可知f（-x）=f（x）恒成立，所以log4(4−x+1)−kx＝log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0对一切x∈R恒成立，故k＝−
1
2，
从而f(x)＝log4(4x+1)−
1
2x．
（Ⅱ）由题意可知，只要证明y＝f(x)+
3
2x＝log4(4x+1)+x在定义域R上是单调函数即可．
证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，那么f(x1)−f(x2)＝[log4(4x1+1)+x1]−[log4(4x2+1)+x2]＝log4
4x1+1
4x2+1+x1−x2，
因为x1＜x2，
所以0＜4x1＜4x2，x1-x2＜0，0＜
4x1+1
4x2+1＜1，log4
4x1+1
4x2+1＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，
故函数y＝f(x)+
3
2x在定义域R上是单调增函数．
对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线y＝−
3
2x+b最多只有一个公共点．
（Ⅲ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)−
1
2x＝log4(a•2x−
4
3a)有且只有一个实根，
化简得方程2x+
1
2x＝a•2x−
4
3a
点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．