Question

已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1时，f(x)＞0

Answer 1

（1）令x=y=1，∴f(1)=2f(1)，∴f(1)=0；

（2）任取

，则

，由题意，

，

又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)-f(y)=f(x)，

∴

，∴

，

∴函数f(x)在其定义域内为增函数，由（1）和f(1)=0，所以，1为方程f(x)=0的一个实根；

若还存在一个x ₀，且x ₀＞0，使得

，

因为函数f(x)在其定义域内为增函数，必有

，故方程f(x)=0有且仅有一个实根；

（3）由（2）知函数f(x)在其定义域内为增函数，

当x∈[1，+∞)时，不等式

恒成立，

即

恒成立，

即

，即

在x∈[1，+∞)时恒成立，

∵

，

∴a＞-2。